गणित प्रश्न

सबसे पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुओं के लिए उनकी समीकरणों को बराबर करते हैं।

$2x-x^2=-x$

$\Rightarrow 3x-x^2=0$

$\Rightarrow x(3-x)=0$

अतः दोनों वक्र $x=0$ और $x=3$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

For $0\leq x\leq3$, the curve $y=2x-x^2$ lies above the line $y=-x$.

$A=\int_0^3\left[(2x-x^2)-(-x)\right],dx$

$A=\int_0^3(3x-x^2),dx$

$A=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3$

$A=\left(\frac{3(3)^2}{2}-\frac{(3)^3}{3}\right)-0$

$A=\frac{27}{2}-9$

$A=\frac{27-18}{2}$

$A=\frac{9}{2}$

अतः दिए गए वक्र और रेखा से परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई है।

Let the roots be $\alpha$ and $\beta$. By Vieta’s formulas, $\alpha+\beta=a-2$ and $\alpha\beta=-a-1$.

Now, $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$.

Thus, $\alpha^2+\beta^2=(a-2)^2-2(-a-1)=a^2-2a+6=(a-1)^2+5$.

Since $(a-1)^2\geq0$, the sum is minimum when $(a-1)^2=0$. Hence, $a=1$.

The minimum value of $a\cos x+b\sin x$ is $-\sqrt{a^2+b^2}$.

Therefore, $\min(3\cos x+4\sin x)=-\sqrt{3^2+4^2}=-5$.

Hence, $\min(3\cos x+4\sin x+8)=-5+8=3$.

Using the standard identities:

$\sinh^{-1}x=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$, therefore $a-\mathrm{IV}$.

$\cosh^{-1}x=\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$, therefore $b-\mathrm{III}$.

$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, therefore $c-\mathrm{II}$.

$\coth^{-1}x=\frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$, therefore $d-\mathrm{I}$.

Let $T(x,y,z)=(u,v,w)$. Then $u=3x$, $v=x-y$ and $w=2x+y+z$.

From $u=3x$, we get $x=\frac{u}{3}$.

From $v=x-y$, we get $y=\frac{u}{3}-v$.

From $w=2x+y+z$, we get $z=w-u+v$.

Therefore, $T^{-1}(u,v,w)=\left(\frac{u}{3},\frac{u}{3}-v,w-u+v\right)$.

अग्रांतर परिभाषा के अनुसार, $x=a$ पर $f(x)$ का अवकलज है

$f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$।

यहाँ $f(a+h)-f(a)$ फलन में अग्र परिवर्तन तथा $h$, $x$ में परिवर्तन को दर्शाता है।

अतः सही उत्तर A है।

अवयव $2$ प्रथम पंक्ति और प्रथम स्तंभ में स्थित है। अतः इसका सहखंड है

$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$

प्रथम पंक्ति और प्रथम स्तंभ को हटाने पर शेष उपसारणिक है

$M_{11}=5$

इसलिए,

$C_{11}=(-1)^2(5)=5$
अतः सही उत्तर (D) 5 है।

तीन सदिशों के अदिश त्रिगुणन का निरपेक्ष मान उनके द्वारा निर्मित समान्तर षट्फलक का आयतन देता है।

$V=\left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|$

अतः $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ चिह्नित आयतन को तथा इसका निरपेक्ष मान वास्तविक आयतन को दर्शाता है।

इसलिए सही उत्तर समान्तर षट्फलक का आयतन है।

दिया गया सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।

इस सदिश का परिमाण है

$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$।

अतः इसकी दिक्-कोज्याएँ हैं

$\left(\dfrac{1}{|\vec{a}|},\dfrac{1}{|\vec{a}|},\dfrac{1}{|\vec{a}|}\right)
=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

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