गणित प्रश्न

For the standard basis vectors, $T(1,0)=(2,1)$ and $T(0,1)=(-3,1)$.

These vectors form the columns of the matrix. Therefore, $[T]=\begin{bmatrix}2&-3\\1&1\end{bmatrix}$.

फिशर का आदर्श सूचकांक, लास्पीयर्स और पाशे के सूचकांकों का गुणोत्तर माध्य होता है।

इसका सूत्र है:

$P_F=\sqrt{P_L\times P_P}$

जहाँ:

$P_F$ = फिशर का आदर्श मूल्य सूचकांक

$P_L$ = लास्पीयर्स मूल्य सूचकांक

$P_P$ = पाशे मूल्य सूचकांक

अतः सही उत्तर विकल्प (C) है।

5 भिन्न-भिन्न पुस्तकों को एक शेल्फ पर व्यवस्थित करने के लिए क्रमचय का प्रयोग किया जाता है।

$n$ भिन्न वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या:

$n!$

यहाँ:

$n=5$

अतः:

$5!=5\times4\times3\times2\times1$

$5!=120$

इसलिए सही उत्तर विकल्प (D) है।

दिया गया बहुपद है:

$p(x)=x^2-5x+6$

विएटा के सूत्र के अनुसार:

$\alpha+\beta=5$

$\alpha\beta=6$

हम जानते हैं:

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

मान रखने पर:

$\alpha^2+\beta^2=5^2-2(6)$

$=25-12$

$=13$

अतः सही उत्तर विकल्प (C) है।

दिया गया व्यंजक है:

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

परिमेयकारी गुणक वह गुणक है जिससे दिए गए व्यंजक को गुणा करने पर परिमेय संख्या प्राप्त हो।

दिए गए व्यंजक को $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times(\sqrt{5}-\sqrt{3})=1$

चूँकि 1 परिमेय संख्या है तथा $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ धनात्मक है।

अतः सही उत्तर विकल्प (B) है।

पूर्णांकों के योगात्मक समूह में 6 तथा 9 द्वारा जनित उपसमूह:

$\langle6,9\rangle=\{6m+9n:m,n\in\mathbb{Z}\}$

यह उपसमूह 6 और 9 के महत्तम समापवर्तक से निर्धारित होता है।

$\langle6,9\rangle=\gcd(6,9)\mathbb{Z}$

चूँकि:

$\gcd(6,9)=3$

अतः:

$\langle6,9\rangle=3\mathbb{Z}$

इसलिए सही उत्तर विकल्प (C) है।

दिया गया अनुक्रम है:

$a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

यह हरात्मक श्रेणी के आंशिक योगों का अनुक्रम है।

$a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

हरात्मक श्रेणी अपसारी होती है।

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$

अतः:

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

वास्तविक संख्याओं में प्रत्येक कौशी अनुक्रम अभिसारी होता है।

चूँकि दिया गया अनुक्रम अपसारी है, इसलिए यह कौशी भी नहीं है।

अतः सही उत्तर विकल्प (B) है।

माना:

$f(x)=x^3-3x^2+ax-6$

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि $(x-2)$ एक गुणनखंड है, तो:

$f(2)=0$

$2^3-3(2)^2+2a-6=0$

$8-12+2a-6=0$

$2a-10=0$

$2a=10$

$a=5$

अतः सही उत्तर विकल्प (A) है।

पाइप A द्वारा 1 घंटे में भरा गया भाग: $\frac{1}{10}$

पाइप B द्वारा 1 घंटे में भरा गया भाग: $\frac{1}{15}$

दोनों पाइपों की संयुक्त कार्यक्षमता: $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$

3 घंटे में भरी गई टंकी: $3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

शेष टंकी: $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

पाइप B द्वारा शेष टंकी को भरने में लगा समय: $T=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{15}}$

$T=\frac{15}{2}=7.5$

अतः सही उत्तर 7.5 घंटे है।

दिया गया समीकरण है:

$x^3-6x^2+11x-6=0$

विएटा के सूत्र के अनुसार घन समीकरण के मूलों का योग:

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

यहाँ $a=1$ तथा $b=-6$ है।

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-6}{1}$

$\alpha+\beta+\gamma=6$

अतः सही उत्तर विकल्प (D) है।

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$

$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

$\boxed{\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$

कथन a सत्य है। यदि $G=\langle g\rangle$ एक चक्रीय समूह है, तो इसके किन्हीं दो अवयवों को $g^m$ और $g^n$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः $g^mg^n=g^{m+n}=g^{n+m}=g^ng^m$। इसलिए प्रत्येक चक्रीय समूह आबेलियन होता है।

कथन b सत्य है। क्लीन के $4$-समूह में प्रत्येक गैर-तत्समक अवयव की कोटि $2$ होती है। इसलिए कोई भी अवयव समूह के सभी $4$ अवयवों को उत्पन्न नहीं कर सकता। अतः यह चक्रीय समूह नहीं है।

कथन c असत्य है। कोटि $n$ के चक्रीय समूह में जनकों की संख्या $\varphi(n)$ होती है, जहाँ $\varphi$ ऑयलर का टोटिएंट फलन है। यह संख्या सदैव $2$ नहीं होती।

कथन d सत्य है। चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह भी चक्रीय होता है।

हाँ $7$ आमंत्रित व्यक्ति और $1$ आयोजक है।

अतः व्यक्तियों की कुल संख्या $7+1=8$ है।

$n$ भिन्न व्यक्तियों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।

इसलिए बैठने के कुल तरीकों की संख्या $(8-1)!=7!=5040$ है।

दिया है $\vec a+\vec b+\vec c=\vec0$। इस सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:

$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec a+\vec b+\vec c)=0$

विस्तार करने पर:

$|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)=0$

चूँकि $m=\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$, इसलिए:

$|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2m=0$

अतः $m=-\dfrac12\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2\right)$

तीनों सदिश अशून्य हैं, इसलिए उनके परिमाणों के वर्गों का योग धनात्मक होगा। अतः m का मान ऋणात्मक होगा .

मापांक के अंदर का व्यंजक $x=-1$ पर शून्य होता है।

अतः $-2\leq x

दोनों बल एक ही दिशा में कार्य कर रहे हैं, इसलिए उनका परिणामी उनके योग के बराबर होगा:

$\dfrac{P}{Q}+\dfrac{Q}{P}=2$

दोनों पक्षों को $PQ$ से गुणा करने पर:

$P^2+Q^2=2PQ$

अतः $P^2-2PQ+Q^2=0$, यानी $(P-Q)^2=0$

इसलिए $P=Q$

श्रेणी का $r$वाँ पद है

$a_r=10^r+(2r-1)$।

इसलिए

$S_n=\sum_{r=1}^n10^r+\sum_{r=1}^n(2r-1)$।

अब $\sum_{r=1}^n10^r=\dfrac{10(10^n-1)}{9}$ तथा प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{r=1}^n(2r-1)=n^2$ है।

अतः $S_n=\dfrac{10}{9}(10^n-1)+n^2$।

सही विकल्प: (C) $\dfrac{10}{9}(10^n-1)+n^2$

प्रारंभिक रेखा के ऊपर स्थित अर्धभाग को घुमाने पर

$V=2\pi\iint_R y,dA$।

ध्रुवीय निर्देशांकों में $y=r\sin\theta$ तथा $dA=r,dr,d\theta$। अतः

$V=2\pi\int_0^\pi\int_0^{a(1+\cos\theta)}r^2\sin\theta,dr,d\theta$

$=\dfrac{2\pi a^3}{3}\int_0^\pi(1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta$

यहाँ $\int_0^\pi(1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta=4$
अतः $V=\dfrac{8\pi a^3}{3}$।

सामान्य पद है


$T_{r+1}=\binom{10}{r}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{10-r}\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^r$।


इस पद में $x$ की घात $10-r-2r=10-3r$ है।


$x^4$ के लिए $10-3r=4$, अतः $r=2$।


इसलिए अपेक्षित गुणांक


$\binom{10}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^8(-3)^2=\dfrac{45\cdot9}{256}=\dfrac{405}{256}$

आइगेन मानों के लिए


$\left|\begin{matrix}1-\lambda&3\\0&4-\lambda\end{matrix}\right|=0$


अतः $(1-\lambda)(4-\lambda)=0$।


इसलिए $\lambda=1,4$