UP TGT 2026 Mathematics Previous Year Question Paper (Jun 03, 2026) प्रश्न

फिशर का आदर्श सूचकांक, लास्पीयर्स और पाशे के सूचकांकों का गुणोत्तर माध्य होता है।

इसका सूत्र है:

$P_F=\sqrt{P_L\times P_P}$

जहाँ:

$P_F$ = फिशर का आदर्श मूल्य सूचकांक

$P_L$ = लास्पीयर्स मूल्य सूचकांक

$P_P$ = पाशे मूल्य सूचकांक

अतः सही उत्तर विकल्प (C) है।

5 भिन्न-भिन्न पुस्तकों को एक शेल्फ पर व्यवस्थित करने के लिए क्रमचय का प्रयोग किया जाता है।

$n$ भिन्न वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या:

$n!$

यहाँ:

$n=5$

अतः:

$5!=5\times4\times3\times2\times1$

$5!=120$

इसलिए सही उत्तर विकल्प (D) है।

दिया गया बहुपद है:

$p(x)=x^2-5x+6$

विएटा के सूत्र के अनुसार:

$\alpha+\beta=5$

$\alpha\beta=6$

हम जानते हैं:

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

मान रखने पर:

$\alpha^2+\beta^2=5^2-2(6)$

$=25-12$

$=13$

अतः सही उत्तर विकल्प (C) है।

दिया गया व्यंजक है:

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

परिमेयकारी गुणक वह गुणक है जिससे दिए गए व्यंजक को गुणा करने पर परिमेय संख्या प्राप्त हो।

दिए गए व्यंजक को $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times(\sqrt{5}-\sqrt{3})=1$

चूँकि 1 परिमेय संख्या है तथा $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ धनात्मक है।

अतः सही उत्तर विकल्प (B) है।

पूर्णांकों के योगात्मक समूह में 6 तथा 9 द्वारा जनित उपसमूह:

$\langle6,9\rangle=\{6m+9n:m,n\in\mathbb{Z}\}$

यह उपसमूह 6 और 9 के महत्तम समापवर्तक से निर्धारित होता है।

$\langle6,9\rangle=\gcd(6,9)\mathbb{Z}$

चूँकि:

$\gcd(6,9)=3$

अतः:

$\langle6,9\rangle=3\mathbb{Z}$

इसलिए सही उत्तर विकल्प (C) है।

दिया गया अनुक्रम है:

$a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

यह हरात्मक श्रेणी के आंशिक योगों का अनुक्रम है।

$a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

हरात्मक श्रेणी अपसारी होती है।

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$

अतः:

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

वास्तविक संख्याओं में प्रत्येक कौशी अनुक्रम अभिसारी होता है।

चूँकि दिया गया अनुक्रम अपसारी है, इसलिए यह कौशी भी नहीं है।

अतः सही उत्तर विकल्प (B) है।

माना:

$f(x)=x^3-3x^2+ax-6$

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि $(x-2)$ एक गुणनखंड है, तो:

$f(2)=0$

$2^3-3(2)^2+2a-6=0$

$8-12+2a-6=0$

$2a-10=0$

$2a=10$

$a=5$

अतः सही उत्तर विकल्प (A) है।

पाइप A द्वारा 1 घंटे में भरा गया भाग: $\frac{1}{10}$

पाइप B द्वारा 1 घंटे में भरा गया भाग: $\frac{1}{15}$

दोनों पाइपों की संयुक्त कार्यक्षमता: $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$

3 घंटे में भरी गई टंकी: $3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

शेष टंकी: $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

पाइप B द्वारा शेष टंकी को भरने में लगा समय: $T=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{15}}$

$T=\frac{15}{2}=7.5$

अतः सही उत्तर 7.5 घंटे है।

दिया गया समीकरण है:

$x^3-6x^2+11x-6=0$

विएटा के सूत्र के अनुसार घन समीकरण के मूलों का योग:

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

यहाँ $a=1$ तथा $b=-6$ है।

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-6}{1}$

$\alpha+\beta+\gamma=6$

अतः सही उत्तर विकल्प (D) है।

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$

$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

$\boxed{\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$

अग्रांतर परिभाषा के अनुसार, $x=a$ पर $f(x)$ का अवकलज है

$f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$।

यहाँ $f(a+h)-f(a)$ फलन में अग्र परिवर्तन तथा $h$, $x$ में परिवर्तन को दर्शाता है।

अतः सही उत्तर A है।

अवयव $2$ प्रथम पंक्ति और प्रथम स्तंभ में स्थित है। अतः इसका सहखंड है

$C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$

प्रथम पंक्ति और प्रथम स्तंभ को हटाने पर शेष उपसारणिक है

$M_{11}=5$

इसलिए,

$C_{11}=(-1)^2(5)=5$
अतः सही उत्तर (D) 5 है।

तीन सदिशों के अदिश त्रिगुणन का निरपेक्ष मान उनके द्वारा निर्मित समान्तर षट्फलक का आयतन देता है।

$V=\left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|$

अतः $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ चिह्नित आयतन को तथा इसका निरपेक्ष मान वास्तविक आयतन को दर्शाता है।

इसलिए सही उत्तर समान्तर षट्फलक का आयतन है।

दिया गया सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।

इस सदिश का परिमाण है

$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$।

अतः इसकी दिक्-कोज्याएँ हैं

$\left(\dfrac{1}{|\vec{a}|},\dfrac{1}{|\vec{a}|},\dfrac{1}{|\vec{a}|}\right)
=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

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