UP PGT 2026 Mathematics Previous Year Question Paper (May 10, 2026) प्रश्न

For the standard basis vectors, $T(1,0)=(2,1)$ and $T(0,1)=(-3,1)$.

These vectors form the columns of the matrix. Therefore, $[T]=\begin{bmatrix}2&-3\\1&1\end{bmatrix}$.

कथन a सत्य है। यदि $G=\langle g\rangle$ एक चक्रीय समूह है, तो इसके किन्हीं दो अवयवों को $g^m$ और $g^n$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः $g^mg^n=g^{m+n}=g^{n+m}=g^ng^m$। इसलिए प्रत्येक चक्रीय समूह आबेलियन होता है।

कथन b सत्य है। क्लीन के $4$-समूह में प्रत्येक गैर-तत्समक अवयव की कोटि $2$ होती है। इसलिए कोई भी अवयव समूह के सभी $4$ अवयवों को उत्पन्न नहीं कर सकता। अतः यह चक्रीय समूह नहीं है।

कथन c असत्य है। कोटि $n$ के चक्रीय समूह में जनकों की संख्या $\varphi(n)$ होती है, जहाँ $\varphi$ ऑयलर का टोटिएंट फलन है। यह संख्या सदैव $2$ नहीं होती।

कथन d सत्य है। चक्रीय समूह का प्रत्येक उपसमूह भी चक्रीय होता है।

हाँ $7$ आमंत्रित व्यक्ति और $1$ आयोजक है।

अतः व्यक्तियों की कुल संख्या $7+1=8$ है।

$n$ भिन्न व्यक्तियों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।

इसलिए बैठने के कुल तरीकों की संख्या $(8-1)!=7!=5040$ है।

दिया है $\vec a+\vec b+\vec c=\vec0$। इस सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:

$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec a+\vec b+\vec c)=0$

विस्तार करने पर:

$|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)=0$

चूँकि $m=\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$, इसलिए:

$|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2m=0$

अतः $m=-\dfrac12\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2\right)$

तीनों सदिश अशून्य हैं, इसलिए उनके परिमाणों के वर्गों का योग धनात्मक होगा। अतः m का मान ऋणात्मक होगा .

मापांक के अंदर का व्यंजक $x=-1$ पर शून्य होता है।

अतः $-2\leq x

दोनों बल एक ही दिशा में कार्य कर रहे हैं, इसलिए उनका परिणामी उनके योग के बराबर होगा:

$\dfrac{P}{Q}+\dfrac{Q}{P}=2$

दोनों पक्षों को $PQ$ से गुणा करने पर:

$P^2+Q^2=2PQ$

अतः $P^2-2PQ+Q^2=0$, यानी $(P-Q)^2=0$

इसलिए $P=Q$

श्रेणी का $r$वाँ पद है

$a_r=10^r+(2r-1)$।

इसलिए

$S_n=\sum_{r=1}^n10^r+\sum_{r=1}^n(2r-1)$।

अब $\sum_{r=1}^n10^r=\dfrac{10(10^n-1)}{9}$ तथा प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{r=1}^n(2r-1)=n^2$ है।

अतः $S_n=\dfrac{10}{9}(10^n-1)+n^2$।

सही विकल्प: (C) $\dfrac{10}{9}(10^n-1)+n^2$

प्रारंभिक रेखा के ऊपर स्थित अर्धभाग को घुमाने पर

$V=2\pi\iint_R y,dA$।

ध्रुवीय निर्देशांकों में $y=r\sin\theta$ तथा $dA=r,dr,d\theta$। अतः

$V=2\pi\int_0^\pi\int_0^{a(1+\cos\theta)}r^2\sin\theta,dr,d\theta$

$=\dfrac{2\pi a^3}{3}\int_0^\pi(1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta$

यहाँ $\int_0^\pi(1+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta=4$
अतः $V=\dfrac{8\pi a^3}{3}$।

सामान्य पद है


$T_{r+1}=\binom{10}{r}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{10-r}\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^r$।


इस पद में $x$ की घात $10-r-2r=10-3r$ है।


$x^4$ के लिए $10-3r=4$, अतः $r=2$।


इसलिए अपेक्षित गुणांक


$\binom{10}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^8(-3)^2=\dfrac{45\cdot9}{256}=\dfrac{405}{256}$

आइगेन मानों के लिए


$\left|\begin{matrix}1-\lambda&3\\0&4-\lambda\end{matrix}\right|=0$


अतः $(1-\lambda)(4-\lambda)=0$।


इसलिए $\lambda=1,4$

सबसे पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुओं के लिए उनकी समीकरणों को बराबर करते हैं।

$2x-x^2=-x$

$\Rightarrow 3x-x^2=0$

$\Rightarrow x(3-x)=0$

अतः दोनों वक्र $x=0$ और $x=3$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

For $0\leq x\leq3$, the curve $y=2x-x^2$ lies above the line $y=-x$.

$A=\int_0^3\left[(2x-x^2)-(-x)\right],dx$

$A=\int_0^3(3x-x^2),dx$

$A=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3$

$A=\left(\frac{3(3)^2}{2}-\frac{(3)^3}{3}\right)-0$

$A=\frac{27}{2}-9$

$A=\frac{27-18}{2}$

$A=\frac{9}{2}$

अतः दिए गए वक्र और रेखा से परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई है।

Let the roots be $\alpha$ and $\beta$. By Vieta’s formulas, $\alpha+\beta=a-2$ and $\alpha\beta=-a-1$.

Now, $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$.

Thus, $\alpha^2+\beta^2=(a-2)^2-2(-a-1)=a^2-2a+6=(a-1)^2+5$.

Since $(a-1)^2\geq0$, the sum is minimum when $(a-1)^2=0$. Hence, $a=1$.

The minimum value of $a\cos x+b\sin x$ is $-\sqrt{a^2+b^2}$.

Therefore, $\min(3\cos x+4\sin x)=-\sqrt{3^2+4^2}=-5$.

Hence, $\min(3\cos x+4\sin x+8)=-5+8=3$.

Using the standard identities:

$\sinh^{-1}x=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$, therefore $a-\mathrm{IV}$.

$\cosh^{-1}x=\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$, therefore $b-\mathrm{III}$.

$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, therefore $c-\mathrm{II}$.

$\coth^{-1}x=\frac{1}{2}\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$, therefore $d-\mathrm{I}$.

Let $T(x,y,z)=(u,v,w)$. Then $u=3x$, $v=x-y$ and $w=2x+y+z$.

From $u=3x$, we get $x=\frac{u}{3}$.

From $v=x-y$, we get $y=\frac{u}{3}-v$.

From $w=2x+y+z$, we get $z=w-u+v$.

Therefore, $T^{-1}(u,v,w)=\left(\frac{u}{3},\frac{u}{3}-v,w-u+v\right)$.